Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．
（1）求证：OE∥平面PDC；
（4）求证：平面PBD⊥平面ABCD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）如图所示，连接AO并延长交DC于点F，连接BF、PF，可证得AO=OF，再由已知AE=EP，可利用三角形的中位线定理即可证明结论．
（Ⅱ）如图所示，根据面面垂直的判定定理，只要证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，从图可看出，只要证PO⊥平面ABCD即可．

解答：证明：（Ⅰ）如图所示，连接AO并延长交DC于点F，连接BF、PF．
∵AB∥DC，BO=OD，∴

AO

OF

=

BO

OD

=1，∴AO=OF，
又∵AE=EP，根据三角形的中位线定理可得OE∥PF，
而OE?平面PDC，PF?平面PDC，
∴OE∥平面PDC．
（Ⅱ）∵△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，∴PB=PD=2，
又BO=OD，∴PO⊥BD．
∵AB⊥AD，∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD=

AD2+AB2

=2

2

．
∴OB=

2

．
在Rt△POB中，由勾股定理可得，PO=

PB2-OB2

=

2

，
在Rt△ABD中，AO=

1

2

BD=

2

．
在△PAO中，PO²+OA²=4=PA²，由勾股定理得逆定理得PO⊥AO．
又∵BD∩AF=O，∴PO⊥平面ABCD．
∵PO?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面ABCD．

点评：本题考查了线面平行和面面垂直，充分利用线线平行、垂直得到线面平行和面面垂直的转化思想是解题的关键．