Question

在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：

1

AD2

=

1

AB2

+

1

AC2

，那么在四面体A-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

Answer 1

分析：利用平面中的射影定理证明；将平面中的三角形类比成空间的三棱锥，三角形的两边垂直类比成三棱锥的三棱垂直，得到类比性质
通过作辅助线将空间的证明问题转化为三角形中的性质．

解答：解：如图（1）所示，由射影定理知AD²=BD•DC，AB²=BD•BC，AC²=BC•DC，
∴

1

AD2

=

1

BD•DC

=

BC2

BD•BC•DC•BC

=

BC2

AB2•AC2

．
又BC²=AB²+AC²，
∴

1

AD2

=

AB2+AC2

AB2•AC2

=

1

AB2

+

1

AC2

．
所以

1

AD2

=

1

AB2

+

1

AC2

．
类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：
四面体A-BCD中，AB、AC、AD两两垂直，
AE⊥平面BCD，则

1

AE2

=

1

AB2

+

1

AC2

+

1

AD2

．
如图（2），连接BE交CD于F，
连接AF．∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD．
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF．
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴

1

AE2

=

1

AB2

+

1

AF2

．
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴

1

AF2

=

1

AC2

+

1

AD2

．
∴

1

AE2

=

1

AB2

+

1

AC2

+

1

AD2

，故猜想正确．

点评：本题考查利用类比推理得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论．