分析 (1)由于函数y=f(x)是奇函数,可得f(-x)+f(x)=0,解出即可得出.
(2)a>0时,f(x)=$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+a}$=1-$\frac{2a}{{2}^{x}+a}$.可得函数f(x)在x∈[m,n](m<n)单调递增,分别由f(m)=2m,f(n)=2n,化为:(2m)2+(a-1)•2m+a=0,(2n)2+(a-1)•2n+a=0,因此方程t2+(a-1)t+a=0由不相等的正实数根.可得△>0,1-a>0,a>0,解出即可得出.
解答 解:(1)函数f(x)=$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+a}$=1-$\frac{2a}{{2}^{x}+a}$.
∵函数y=f(x)是奇函数,
∴f(-x)+f(x)=0,
∴2-$\frac{2a}{{2}^{-x}+a}$-$\frac{2a}{{2}^{x}+a}$=0,化为:a2=1.
解得a=±1.
经过验证:a=±1都满足题意.
(2)a>0时,f(x)=$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+a}$=1-$\frac{2a}{{2}^{x}+a}$.
则函数f(x)在x∈[m,n](m<n)单调递增,
∴f(m)=1-$\frac{2a}{{2}^{m}+a}$=2m,f(n)=1-$\frac{2a}{{2}^{n}+a}$=2n,
由1-$\frac{2a}{{2}^{m}+a}$=2m,化为:(2m)2+(a-1)•2m+a=0,
由1-$\frac{2a}{{2}^{n}+a}$=2n,化为(2n)2+(a-1)•2n+a=0,
∴方程t2+(a-1)t+a=0有不相等的正实数根.
∴△=(a-1)2-4a>0,1-a>0,a>0,
联立解得:$0<a<3-2\sqrt{2}$.
∴实数a的取值范围是$0<a<3-2\sqrt{2}$.
点评 本题考查了函数的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $(-∞,\frac{3}{2}]$ | B. | $(1,\frac{3}{2})$ | C. | $(1,\frac{3}{2}]$ | D. | $[\frac{3}{2},+∞)$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | -$\frac{1}{3}$ | C. | -3 | D. | -2 |
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