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如图:在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A、B两点.
(1)若A、B两点的纵坐标分别为
4
5
12
13
,求cos(β-α)的值;
(2)已知点C(-1,
3
)
,求函数f(α)=
OA
OC
的值域.
分析:(1)由三角函数的定义可得sinα,sinβ,再由同角三角函数的基本关系可得cosαcosβ,代入两角差的余弦公式可得;
(2)由数量积的运算可得f(α)=2sin(α-
π
6
)
,由α得范围,逐步求范围可得答案.
解答:解:(1)根据三角函数的定义,得sinα=
4
5
sinβ=
12
13

又α是锐角,所以cosα=
3
5
,因为β是钝角,所以cosβ=-
5
13

所以cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=(-
5
13
3
5
+
12
13
×
4
5
=
33
65

(2)由题意可知,
OA
=(cosα,sinα)
OC
=(-1,
3
)

所以f(α)=
OA
OC
=
3
sinα-cosα=2sin(α-
π
6
)

因为0<α<
π
2
,所以-
π
6
<α-
π
6
π
3
-
1
2
<sin(a-
π
6
)<
3
2

从而-1<f(α)<
3
,因此函数f(α)=
OA
OC
的值域为(-1,
3
)
点评:本题考查平面向量的数量积的运算,以及三角函数的运算公式和值域,属中档题.
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