Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），过点的直线的参数方程为（为参数）.

（Ⅰ）求曲线的普通方程，并说明它表示什么曲线；

（Ⅱ）设曲线与直线分别交于，两点，若，，成等比数列，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)，曲线表示焦点在上的椭圆.(Ⅱ)2.

【解析】分析：（Ⅰ）利用平方关系消去参数，结合的范围即可得曲线表示焦点在上的椭圆；（Ⅱ）将将直线的参数方程代入椭圆方程，

详解：（Ⅰ）曲线的普通方程为，

，

曲线表示焦点在上的椭圆.

（Ⅱ）将直线的参数方程（为参数）代入椭圆方程，设对应的参数分别为、，根据直线中参数的几何意义，由题意得，再结合韦达定理即可得结果.

整理得，

即，

，

设对应的参数分别为、，

那么，

由的几何意义知，，，

于是，，，

若,，成等比数列，则有，

即，解得，

所以的值为.