Question

6．已知圆C：x²+y²-2x-7=0．
（1）过点P（3，4）且被圆C截得的弦长为4的弦所在的直线方程
（2）是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB的中点D到原点O的距离恰好等于圆C的半径，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）由圆的方程求出圆心的坐标及半径，由直线被圆截得的弦长，利用垂径定理得到弦的一半，弦心距及圆的半径构成直角三角形，再根据勾股定理求出弦心距，分两种情况考虑：若此弦所在直线方程的斜率不存在；若斜率存在，设出斜率为k，由直线过P点，由P的坐标及设出的k表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于求出的弦心距列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而得到所求直线的方程．
（2）求出CD的方程，可得D的坐标，利用D到原点O的距离恰好等于圆C的半径，求出b，再利用b的范围，即可求出直线l的方程．

解答 解：（1）由x²+y²-2x-7=0得：（x-1）²+y²=8…（2分）
当斜率存在时，设直线方程为y-4=k（x-3），即kx-y-3k+4=0
∴弦心距$d=\frac{|k-3k+4|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{|4-2k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{8-4}=2$，解得$k=\frac{3}{4}$
∴直线方程为y-4=$\frac{3}{4}$（x-3），即3x-4y+7=0…（5分）
当斜率不存在时，直线方程为x=3，符合题意．
综上得：所求的直线方程为3x-4y+7=0或x=3…（7分）
（2）设直线l方程为y=x+b，即x-y+b=0
∵在圆C中，D为弦AB的中点，∴CD⊥AB，∴k_CD=-1，∴CD：y=-x+1
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$，得D的坐标为$（\frac{1-b}{2}，\frac{1+b}{2}）$…（10分）
∵D到原点O的距离恰好等于圆C的半径，
∴$\sqrt{（\frac{1-b}{2}）^{2}+（\frac{1+b}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，解得$b=±\sqrt{15}$…（14分）
∵直线l与圆C相交于A、B，∴C到直线l的距离$d=\frac{|1-b|}{{\sqrt{2}}}＜2\sqrt{2}$，∴-5＜b＜3…（16分）
∴b=-$\sqrt{15}$，则直线l的方程为x-y-$\sqrt{15}$=0…（17分）

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及直线的斜截式方程，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相交时，常常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，注意合理地进行等价转化．