Question

求使下列函数得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．
（1）y=1-

1

2

cos

π

3

x，x∈R；
（2）y=3sin（2x+

π

4

），x∈R；
（3）y=-

3

2

cos（

1

2

x-

π

6

），x∈R；
（4）y=

1

2

sin（

1

2

x+

π

3

），x∈R．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：由条件利用正弦函数的定义域和值域、余弦函数的定义域和值域，分别求得各个选项中函数得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．

解答： 解：（1）对于y=1-

1

2

cos

π

3

x，x∈R，当

π

3

x=2kπ，k∈z时，即x∈{x|x=6k，k∈z}时，cos

π

3

x取得最大值为1，函数y取得最小值为1-

1

2

=

1

2

；
当

π

3

x=2kπ+π，k∈z时，即x∈{x|x=6k+3，k∈z}时，cos

π

3

x取得最小值为-1，函数y取得最大值为1+

1

2

=

3

2

．
（2）对于y=3sin（2x+

π

4

），x∈R，当2x=2kπ+

π

2

，k∈z时，即x∈{x|x=kπ+

π

4

，k∈z}时，
函数y取得最大值为3；
当2x=2kπ-

π

2

，k∈z时，即x∈{x|x=kπ-

π

4

，k∈z}时，函数y取得最小值为-3．
（3）对于y=-

3

2

cos（

1

2

x-

π

6

），x∈R，当

1

2

x-

π

6

=2kπ，k∈z时，即x∈{x|x=4kπ+

π

3

，k∈z}时，
cos（

1

2

x-

π

6

）取得最大值为1，函数y取得最小值为-

3

2

，
当

1

2

x-

π

6

=2kπ+π，k∈z时，即x∈{x|x=4kπ+

7π

3

，k∈z}时，cos（

1

2

x-

π

6

）取得最小值为-1，
函数y取得最大值为

3

2

．
（4）对于y=

1

2

sin（

1

2

x+

π

3

），x∈R，当

1

2

x+

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈z时，即x∈{x|x=4kπ-

5π

3

，k∈z}时，
sin（

1

2

x+

π

3

）取得最小值为-1，故函数y取得最小值为-

1

2

；
当

1

2

x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈z时，即x∈{x|x=4kπ+

π

3

，k∈z}时，sin（

1

2

x+

π

3

）取得最大值为1，
函数y取得最大值为

1

2

．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域、余弦函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于基础题．