Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn=4an﹣3（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：数列{an}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{bn}满足bn+1=an+bn（n∈N*），且b1=2，求数列{bn}的通项公式．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：由Sn=4an﹣3，n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1． 因为Sn=4an﹣3，则Sn﹣1=4an﹣1﹣3（n≥2），
所以当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4an﹣4an﹣1 ，
整理得 ．又a1=1≠0，
所以{an}是首项为1，公比为 的等比数列．
（Ⅱ）解：因为 ，
由bn+1=an+bn（n∈N*），得 ．
可得bn=b1+（b2﹣b′1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）
= ，（n≥2）．
当n=1时上式也满足条件．
所以数列{bn}的通项公式为
【解析】（Ⅰ）要证明数列为等比数列，只需证明数列的后一项比前一项为常数即可，先根据当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 求出数列{an}的递推关系式，再求 ，得道常数，即可证明．（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求数列{an}的递推公式，代入bn+1=an+bn（n∈N*），可得数列{bn}的递推公式，再用迭代法，即可求出数列{bn}的通项公式．
【考点精析】关于本题考查的等比关系的确定和数列的通项公式，需要了解等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．