Question

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足$\frac{2a-b}{cosB}=\frac{c}{cosC}$．
（1）求角C的值；
（2）若c=7，△ABC的面积为$10\sqrt{3}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinC的值代入求出ab的值，再利用余弦定理列出关系式，整理即可求出a+b的值．

解答 解：（1）已知等式利用正弦定理化为$\frac{2sinA-sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{cosC}$，
整理得：2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，
∵0＜A＜π，∴sinA≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）由S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=10$\sqrt{3}$，得ab=40，
∵cosC=$\frac{1}{2}$，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=（a+b）²-3×40，
∴49=（a+b）²-3×40，即（a+b）²=169，
开方得：a+b=13．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．