Question

（2013•四川）已知圆C的方程为x²+（y-4）²=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且

2

|OQ|2

=

1

|OM|2

+

1

|ON|2

．请将n表示为m的函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围；
（Ⅱ）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为（x₁，kx₁），（x₂，kx₂），利用两点间的距离公式表示出|OM|²与|ON|²，以及|OQ|²，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x₁+x₂与x₁x₂，用k表示出m，由Q在直线y=kx上，将Q坐标代入直线y=kx中表示出k，代入得出的关系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可．

解答：解：（Ⅰ）将y=kx代入x²+（y-4）²=4中，得：（1+k²）x²-8kx+12=0（*），
根据题意得：△=（-8k）²-4（1+k²）×12＞0，即k²＞3，
则k的取值范围为（-∞，-

3

）∪（

3

，+∞）；
（Ⅱ）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x₁，kx₁），（x₂，kx₂），
∴|OM|²=（1+k²）x₁²，|ON|²=（1+k²）x₂²，|OQ|²=m²+n²=（1+k²）m²，
代入

2

|OQ|2

=

1

|OM|2

+

1

|ON|2

得：

2

(1+k2)m2

=

1

(1+k2)x12

+

1

(1+k2)x22

，
即

2

m2

=

1

x12

+

1

x22

=

(x1+x2)2-2x1x2

x12x22

，
由（*）得到x₁+x₂=

8k

1+k2

，x₁x₂=

12

1+k2

，
代入得：

2

m2

=

( 8k 1+k2 )2- 24 1+k2

144 (1+k2)2

，即m²=

36

5k2-3

，
∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=

n

m

，代入m²=

36

5k2-3

，化简得5n²-3m²=36，
由m²=

36

5k2-3

及k²＞3，得到0＜m²＜3，即m∈（-

3

，0）∪（0，

3

），
根据题意得点Q在圆内，即n＞0，
∴n=

3m2+36 5

=

15m2+180

5

，
则n与m的函数关系式为n=

15m2+180

5

（m∈（-

3

，0）∪（0，

3

））．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根的判别式，根与系数的关系，两点间的距离公式，以及函数与方程的综合运用，本题计算量较大，是一道综合性较强的中档题．