Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，点D在AB上．
（1）若D是AB中点，求证：AC₁∥平面B₁CD；
（2）当

BD

AB

=

1

5

时，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）通过作平行线，由线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值．

解答：解：（1）证明：连接BC₁，交B₁C于E，连接DE．
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，D是AB中点
∴侧面BB₁C₁C为矩形，DE为△ABC₁的中位线
∴DE∥AC₁，
又∵DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD
∴AC₁∥平面B₁CD．
（2）∵AB=5，AC=4，BC=3，即AB²=AC²+BC²
∴AC⊥BC，所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．则B （3，0，0），A （0，4，0），
A₁ （0，0，4），B₁ （3，0，4）．
设D （a，b，0）（a＞0，b＞0），
∵点D在线段AB上，且

BD

AB

=

1

5

，即

BD

=

1

5

BA

∴a=

12

5

，b=

4

5

 （7分）
∴

B1C

=（-3，0，-4），

CD

=（

12

5

，

4

5

，0）
显然

CC1

=（0，0，4）是平面BCD的一个法向量
设平面B₁CD的法向量为

n

=（x，y，z），那么
由

B1C

•

n

=0，

CD

•

n

=0，得

-3x-4z=0 12 5 x+ 4 5 y=0

，
令x=1，得

n

=（1，-3，-

3

4

）（10分）
∴cos＜

CC1

，

n

＞=

CC1 • n

| CC1 || n |

=

-3

4× 13 4

=-

3

13

（12分）
又二面角B-CD-B₁是锐角，故其余项值为

3

13

．

点评：本题考查线面平行的判定及二面角的求法．求二面角的方法：法一、作二面角的平面角--证明符合定义--解三角形求解；
法二、向量法，求得两平面的法向量，根据cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

求解．