【题目】如图所示,正方体 中,
分别是
的中点,将
沿
折起,使
.
(1)证明: 平面
;
(2)求二面角 的余弦值.
【答案】
(1)证明:设正方体的棱长为2,
在 中,
,
,所以
,
∵ ,
,
∴ 平面
,∵
,∴
平面
,∴
,
所以在 中,得
在 中,又
,∴
又 ,∴
平面
.
(2)解:取 的中点
,则
,由(1)知,
平面
.
所以平面 平面
,所以
平面
,作
,垂足为
,连接
,
由三垂线定理知, ,
所以 就是所求二面角
的平面角.
在 中,
,
,
所以 ,所以
,
所以二面角 的余弦值为
.
【解析】(1)平面图形的翻折问题中,要注意哪些因素改变,哪些因素不改变,由直线与平面图内两条相交直线都有垂直证明直线与平面垂直.
(2)先由二面角的定义找互二面角的一个平面图角,再在三角形中,通过解三角形求角.
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【题目】甲船在岛的正南方
处,
千米,甲船以每小时
千米的速度向正北航行,同时乙船自
出发以每小时
千米的速度向北偏东
的方向驶去,当甲,乙两船相距最近时,它们所航行的时间是( )
A. 分钟 B.
分钟 C.
分钟 D.
分钟
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,圆的参数方程为 (φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为
.
(1)将圆的参数方程化为普通方程,在化为极坐标方程;
(2)若点P在直线l上,当点P到圆的距离最小时,求点P的极坐标.
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【题目】已知三棱锥 ,底面
是以
为直角顶点的等腰直角三角形,
,
,二面角
的大小为
.
(1)求直线 与平面
所成角的大小;
(2)求二面角 的正切值.
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【题目】商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数是羊毛衫标价的一次函数,标价越高,购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格,已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/ 件,商场以高于成本价的价格(标价)出售. 问:
(1)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元?
(2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润的75%,那么羊毛衫的标价为每件多少元?
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