Question

下列说法：
①x＞2是x²-3x+2＞0的充分不必要条件．
②函数y=

x-1

x+1

图象的对称中心是（1，1）．
③已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x-2）i-y=1+i，则（1+i）^x-y的值为-4．
④若函数f(x)=

(3a-1)x+4a(x＜1) logax(x≥1)

，对任意的x₁≠x₂都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，则实数a的取值范围是(

1

7

，1)．
其中正确命题的序号为

①③

．

Answer 1

分析：x＞2⇒x²-3x+2＞0，x²-3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故x＞2是x²-3x+2＞0的充分不必要条件；由函数y=

x-1

x+1

=1-

2

x+1

，知函数y=

x-1

x+1

图象的对称中心是（-1，1）；由（x-2）i-y=1+i，知

-y=1 x-2=1

，故（1+i）^x-y=（1+i）⁴=（2i）²=-4；由对任意的x₁≠x₂都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，知函数f(x)=

(3a-1)x+4a(x＜1) logax(x≥1)

是减函数，由此能求出0＜a＜

1

3

．

解答：解：x＞2⇒x²-3x+2＞0，
x²-3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，
∴x＞2是x²-3x+2＞0的充分不必要条件，故①是真命题；
∵函数y=

x-1

x+1

=1-

2

x+1

，
∴函数y=

x-1

x+1

图象的对称中心是（-1，1），故②是假命题；
∵（x-2）i-y=1+i，
∴

-y=1 x-2=1

，即x=3，y=-1，
∴（1+i）^x-y=（1+i）⁴=（2i）²=-4，即③是真命题；
∵对任意的x₁≠x₂都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，
∴函数f(x)=

(3a-1)x+4a(x＜1) logax(x≥1)

是减函数，
∴

3a-1＜0 0＜a＜1

，即0＜a＜

1

3

，故④是假命题．
故答案为：①③．

点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要注意不等式、函数的对称性、复数性质、对数函数等知识点的灵活运用．