Question

已知命题p：?x∈[1，12]，x²-a≥0．命题q：?x₀∈R，使得x+（a-1）x₀+1＜0．
（1）若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
（2）实数m分别取什么值时，复数z=m+1+（m-1）i是 ①实数？②虚数？③纯虚数？

Answer 1

解：（1）∵?x∈[1，12]，x²-a≥0恒成立，即a≤x²恒成立，
∴a≤1．即p：a≤1，∴p：a＞1．…（3分）
又?x₀∈R，使得x+（a-1）x₀+1＜0．
∴△=（a-1）²-4＞0，∴a＞3或a＜-1，…（6分）
即q：a＞3或a＜-1，∴q：-1≤a≤3．
又p或q为真，p且q为假，∴p真q假或p假q真． …（8分）
当p真q假时，{a|a≤1}∩{a|-1≤a≤3}={a|-1≤a≤1}．…（10分）
当p假q真时，{a|a＞1}∩{a|a＜-1或a＞3}={a|a＞3}． …（12分）
综上所述，a的取值范围为{a|-1≤a≤1}∪{a|a＞3}． …（14分）
（2）①由m-1=0，得：m=1时，z为实数．
②由m-1≠0，得：m≠1时，z为虚数．
③由m-1≠0，m+1=0，得：m=-1时，z为纯虚数．
分析：（1）根据题意得命题p、q有且仅有一个为真命题，分别讨论“p真q假”与“p假q真”即可得出实数a的取值范围．
（2）①按照复数的虚部为0，复数是实数解答；②复数的虚部不为0即可解答；③复数的实部为0且虚部不为0，即可解答．
点评：本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用．