Question

如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，，点、分别为棱、的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求三棱锥的体积.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）三棱锥的体积为.

试题分析：（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，得到，再利用直线平面平行的判定定理得到平面；（2）先证明平面，利用（1）中的条件得到平面，再利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面，在证明平面的过程中，在等腰三角形中利用三线合一得到，通过证明平面得到，然后利用直线与平面垂直的判定定理即可证明平面；（3）利用题中的条件平面，在计算三棱锥的体积中，选择以点为顶点，所在平面为底面的三棱锥来计算其体积，则该三棱锥的高为，最后利用锥体的体积计算公式即可.
试题解析：（1）取的中点，连结、，
∴为的中位线，，

∵四边形为矩形，为的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
∴平面；
（2） 底面，
，，又，，
平面， 又平面， ，
直角三角形中，，
为等腰直角三角形，，
是的中点，，又，平面，
，平面，
又平面， 平面平面；
（3）三棱锥即为三棱锥，
是三棱锥的高，
中，，，
三棱锥的体积，
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