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已知椭圆的长轴长为4,离心率为分别为其左右焦点.一动圆过点,且与直线相切.

(Ⅰ)(ⅰ)求椭圆的方程; (ⅱ)求动圆圆心的轨迹方程;

(Ⅱ) 在曲线上有两点,椭圆上有两点,满足共线,

共线,且,求四边形面积的最小值.

 

【答案】

(i),(ⅱ). (Ⅱ)四边形PMQN面积的最小值为8. 

【解析】第一问中,

第二问中,由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线,且抛物线的焦点为(1,0),准线方程为,则动圆圆心轨迹方程为.当直线的斜率不存在时,=4,  此时的长即为椭圆长轴长,=4,

   从而

当直线的斜率存在时,设斜率为,则,直线的方程为

直线的方程为, 设,,

     由,消去y可得

      由抛物线定义可知:

解:由已知可得

(ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线,且抛物线的焦点为(1,0),准线方程x=-1,则动圆圆心轨迹方程为.                 ------------6分

(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,=4,  此时的长即为椭圆长轴长,=4,

   从而  …………… 7分

  当直线的斜率存在时,设斜率为,则,直线的方程为

直线的方程为, 设,,

     由,消去y可得

      由抛物线定义可知:

   ……………9分

   由消去y得

    令,∵k>0则t>1  ,则

    因为  ,  所以       

所以四边形PMQN面积的最小值为8       ……………12分

 

练习册系列答案
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已知椭圆的长轴长为4,离心率为分别为其左右焦点.一动圆过点,且与直线相切.

(Ⅰ)(ⅰ)求椭圆的方程; (ⅱ)求动圆圆心轨迹的方程;

(Ⅱ) 在曲线上有两点,椭圆上有两点,满足共线,共线,且,求四边形面积的最小值.

 

 

 

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