Question

已知斜率为1的直线l与双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于B，D两点，BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右焦点为F，|DF|•|BF|≤17，求b²-a²取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）写出直线l的方程，和双曲线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两个交点B，D的横坐标的和，结合BD的中点为M（1，3）列式求得C的离心率；
（Ⅱ）化简双曲线的方程，进一步把B，D两点的横坐标的和与积用仅含a的代数式表示，用两点间的距离公式写出|BF|和|DF|，代入|DF|•|BF|≤17，然后把根与系数的关系代入得到含有a的不等式，求解不等式得到a的取值范围，则b²-a²取值范围可求．

解答：解：（I）由题知，l的方程为：y=x+2．
代入C的方程，并化简，得（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0．
设B（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）则x1+x2=

4a2

b2-a2

，x1x2=-

4a2+a2b2

b2-a2

   ①
由M（1，3）为BD的中点知

x1+x2

2

=1，故

1

2

•

4a2

b2-a2

=1，
即b²=3a²  ②
故c=

a2+b2

=2a，所以C的离心率e=

c

a

=2；
（II）由①、②知C的方程为：3x²-y²=3a²．
F（2a，0），x1+x2=2，x1x2=-

4+3a2

2

＜0．
故不妨设x₁≤-a，x₂≥a
|BF|=

(x1-2a)2+y12

=

(x1-2a)2+3x12-3a2

=a-2x1，
|FD|=

(x2-2a)2+y22

=

(x2-2a)2+3x22-3a2

=2x2-a，
|BF|•|DF|=（a-2x₁）（2x₂-a）=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2
=-4×(-

4+3a2

2

)+4a-a2=5a2+4a+8．
又|BF|•|DF|≤17，故5a²+4a+8≤17，
解得-

9

5

≤a≤1，故0＜a≤1．
由e=2，得b²=3a²，故b²-a²=2a²∈（0，2]．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题是高考的重点，常以压轴题的形式出现，往往采用“设而不求”的解题方法，解答的关键是正确利用方程的根与系数的关系，有时运算量较大，要求学生有较强的计算能力，是难题．