【题目】如图,在四棱锥中,
,
平分
,
平面
,
,点
在
上,
.
(1)求证:平面
;
(2)若,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析.
(2).
【解析】
(1)先根据平面
得
,再根据已知
,得
平面
,即得
,另一方面根据计算得
,最后根据线面垂直判定定理得结论,(2)根据题意建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解得平面
的一个法向量,利用向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系求结果.
(1)证明:因为平面
,所以
,
又因为,
,所以
平面
所以
作交
于点
,则
平面
,
在中,
,
,设
则
易证
因为,则
所以,即
,
所以平面
.
(2)如图所示,以为坐标原点,分别以
的方向为
轴,
轴正方向,建立空间直角坐标系
因为垂直平分,所以
为直角三角形
的斜边上的中线
所以
因为,
,由
,得
,
设平面的一个法向量为
,
则即
得
,取
,则
,
由(1)可知为平面
的一个法向量,
所以
由图可知,所求二面角为锐角
所以所求二面角的余弦值为.
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【题目】某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查,随机抽取了20名用户的评分,得到图3所示茎叶图,对不低于75的评分,认为用户对产品满意,否则,认为不满意,
(Ⅰ)根据以上资料完成下面的2×2列联表,若据此数据算得,则在犯错的概率不超过5%的前提下,你是否认为“满意与否”与“性别”有关?
附:
(Ⅱ) 估计用户对该公司的产品“满意”的概率;
(Ⅲ) 该公司为对客户做进一步的调查,从上述对其产品满意的用户中再随机选取2人,求这两人都是男用户或都是女用户的概率.
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【题目】已知椭圆的两焦点在
轴上,且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为
的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)动直线交椭圆
于
两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点
,使得以线段
为直径的圆恒过点
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由。
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【题目】某商场为了吸引大家,规定:购买一定价值的商品可以获得一张奖券,奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动,已知甲有一张该商场的奖券,且每次兑奖活动的中奖概率都是0.05,求:
(1)甲中两次奖的概率;
(2)甲中一次奖的概率;
(3)甲不中奖的概率.
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【题目】某超市为调查会员某年度上半年的消费情况制作了有奖调查问卷发放给所有会员,并从参与调查的会员中随机抽取名了解情况并给予物质奖励.调查发现抽取的
名会员消费金额(单位:万元)都在区间
内,调查结果按消费金额分成
组,制作成如下的频率分布直方图.
(1)求该名会员上半年消费金额的平均值与中位数;(以各区间的中点值代表该区间的均值)
(2)现采用分层抽样的方式从前组中选取
人进行消费爱好调查,然后再从前
组选取的人中随机选
人,求这
人都来自第
组的概率.
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【题目】已知正方体,过对角线
作平面
交棱
于点
,交棱
于点
,下列正确的是( )
A.平面分正方体所得两部分的体积相等;
B.四边形一定是平行四边形;
C.平面与平面
不可能垂直;
D.四边形的面积有最大值.
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【题目】已知函数(其中
)在点
处的切线斜率为1.
(1)用表示
;
(2)设,若
对定义域内的
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)在(2)的前提下,如果,证明:
.
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【题目】已知椭圆中心在坐标原点,焦点在
轴上,且过
,直线
与椭圆交于
,
两点(
,
两点不是左右顶点),若直线
的斜率为
时,弦
的中点
在直线
上.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)若以,
两点为直径的圆过椭圆的右顶点,则直线
是否经过定点,若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.
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