Question

如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|为定值．若存在，求F₁，F₂的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由e==，=2，
求得a=2，c=
∴b==
∴椭圆的方程为：
（Ⅱ）设P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则由，得（x，y）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），
即x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵点M，N在椭圆上，所以，
故x²+2y²=（x₁²+4x₂²+4x₁x₂）+2（y₁²+4y₂²+4y₁y₂）=20+4（x₁x₂+2y₁y₂）
设k_0M，k_ON分别为直线OM，ON的斜率，
根据题意可知k_0Mk_ON=﹣
∴x₁x₂+2y₁y₂=0
∴x²+2y²=20
所以P在椭圆
设该椭圆的左，右焦点为F₁，F₂，
由椭圆的定义可推断出|PF₁|+|PF₂|为定值，
因为c=，则这两个焦点坐标是（﹣，0）（，0）