Question

（2012•孝感模拟）某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产1百件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为5百件，产品销售数量为t（百件）时，销售所得的收入为(5t-

1

2

t2)万元．
（1）该公司这种产品的年生产量为x百件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（x）．
（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大．

Answer 1

分析：（1）分类讨论：①当0≤x≤5时，②当x＞5时，分别写出函数f（x）的表达式，最后利用分段函数的形式写出所求函数解析式即可；
（2）分别求出当0≤x≤5时，及当x＞5时，f（x）的最大值，最后综上所述，当x为多少时，f（x）有最大值，即当年产量为多少件时，公司可获得最大年利润．

解答：解（I）当0＜x≤5时，f（x）=5x-

1

2

x2-（0.25x+0.5）=-

1

2

x2+

19x

4

-

1

2

（2分）
当x＞5时，f(x)=25-

1

2

×52-（0.25x+0.5）=12-

x

4

（4分）
∴f(x)=

- 1 2 x2+ 19 4 x- 1 2 ，0＜x≤5  12- x 4 ，x＞5

（6分）
（2）0≤x≤5时，f（x）=-

1

2

（x-

19

4

）²+

345

32

，
∴在x=

19

4

时，f（x）有最大值

345

32

万元，（10分）
当x＞5时，f（x）=12-

1

4

x＜12-

1

4

×5＜

345

32

（12分）
综上所述，当x=4.75时，f（x）有最大值，即当年产量为475件时，公司可获得最大年利润（13分）

点评：本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，属于基础题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．