Question

已知数列{a_n}中，a1=2，an+1=

4an-2

3an-1

(n∈N*)，设bn=

3an-2

an-1

．
（Ⅰ）试写出数列{b_n}的前三项；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设{a_n}的前n项和为S_n，求证：

(n+1)•2n+1-n-2

2n+1-1

＜Sn≤

(n+2)•2n-1-1

2n-1

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（I）由已知中a1=2，an+1=

4an-2

3an-1

(n∈N*)，利用代入法，易求出数列{a_n}的前三项，再由bn=

3an-2

an-1

，可以求出数列{b_n}的前三项；
（Ⅱ）由已知中a1=2，an+1=

4an-2

3an-1

(n∈N*)，bn=

3an-2

an-1

．我们易得到b_n是以

3a1-2

a1-1

=4为首项，以2为公比的等比数列，再结合bn=

3an-2

an-1

．我们易得到数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）根据（II）的结论，我们可得到{a_n}的前n项和为S_n的表达式，利用放缩法，即可证明

(n+1)•2n+1-n-2

2n+1-1

＜Sn≤

(n+2)•2n-1-1

2n-1

(n∈N*)．

解答：解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=

4an-2

3an-1

(n∈N*)，得a2=

6

5

，a3=

14

13

．
由bn=

3an-2

an-1

，可得b₁=4，b₂=8，b₃=16．
（Ⅱ）证明：因an+1=

4an-2

3an-1

，
故bn+1=

3an+1-2

an+1-1

=

12an-6-6an+2

4an-2-3an+1

=2•

3an-2

an-1

=2bn．
显然an≠

2

3

，因此数列b_n是以

3a1-2

a1-1

=4为首项，以2为公比的等比数列，
即b_n=

3an-2

an-1

=4•2n-1=2n+1．
解得an=

2n+1-2

2n+1-3

．
（Ⅲ）因为an=1+

1

2n+1-3

=1+

2n

2n•2n+1-3•2n

＞1+

(2n+1-1)-(2n-1)

2n•2n+1-2n-2n+1+1

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
所以Sn＞

n

k=1

(1+

1

2k-1

-

1

2k+1-1

)=n+1-

1

2n+1-1

=

(n+1)•2n+1-n-2

2n+1-1

；

又an=1+

1

2n+1-3

≤1+

4

2n+1

=1+

1

2n-1

（当且仅当n=1时取等号），故Sn≤

n

k=1

(1+

1

2k-1

)=n+

1-2-n

1-2-1

=

(n+2)•2n-1-1

2n-1

．
综上可得

(n+1)•2n+1-n-2

2n+1-1

＜Sn≤

(n+2)•2n-1-1

2n-1

(n∈N*)．

点评：本题考查的知识点是数列的递推公式，数列与不等式的综合应用，是数列问题中难度较大的问题，其中不等式解法中的放缩法，数列的递推公式，在属于新课标高考考试要求范围．