Question

一个口袋中装有n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（Ⅰ）试用n表示一次摸奖中奖的概率p；
（Ⅱ）若n=5，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ） 记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？

Answer 1

（Ⅰ）一次摸奖从n+5个球中任选两个，有C_n+5²种，它们等可能，其中两球不同色有C_n¹C₅¹种，一次摸奖中奖的概率p=

10n

(n+5)(n+4)

．
（Ⅱ）若n=5，一次摸奖中奖的概率p=

5

9

，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是P3(1)=

C

13

•p•(1-p)2=

80

243

．
（Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P=P₃（1）=C₃¹•p•（1-p）²=3p³-6p²+3p，0＜p＜1，P'=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1），知在(0，

1

3

)上P为增函数，在(

1

3

，1)上P为减函数，当p=

1

3

时P取得最大值．又p=

10n

(n+5)(n+4)

=

1

3

，解得n=20．
答：当n=20时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．