Question

16．三个数学爱好者各自出题给对方做．
甲出的题目是：（1）证明不等式$\frac{x}{1+x}$＜ln（1+x）＜x，x＞0；
乙出的题目是：（2）在数列{a_n}中，已知a₁=$\frac{1}{2}$，且$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{n^2-n-1}$，求数列{a_n}的通项公式a_n；
丙看完后出的题目是：在（2）中，设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明：-1+lnn＜S_n≤$\frac{1}{2}$+lnn．

Answer 1

分析 （1）设g（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1+x}$，h（x）=ln（1+x）-x（x＞0），求出导数，判断单调性即可得证；
（2）由条件，两边取倒数，可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{n}$-（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{n-1}$）=1，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{n}$}为首项为1，公差为1的等差数列，运用等差数列的通项公式即可得到；
（3）在（1）中，令x=$\frac{1}{n}$，得$\frac{1}{n+1}$＜ln（1+$\frac{1}{n}$）＜$\frac{1}{n}$，令x_n=S_n-lnn，则x₁=$\frac{1}{2}$，判断x_n-x_n-1的单调性，即可证得不等式的右边；再由lnn=lnn-ln（n-1）+ln（n-1）-ln（n-2）+…+ln2-ln1+ln1=$\sum_{k=1}^{n-1}$ln（1+$\frac{1}{k}$），运用不等式的性质，即可证得左边．

解答 解：（1）证明：设g（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1+x}$，h（x）=ln（1+x）-x（x＞0），
当x＞0时，g′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{（1+x）^{2}}$=$\frac{x}{（1+x）^{2}}$＞0，h′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$＜0，
则g（x）递增，即有g（x）＞g（0）=0，h（x）递减，即有h（x）＜h（0）=0，
则不等式$\frac{x}{1+x}$＜ln（1+x）＜x成立；
（2）a₁=$\frac{1}{2}$，且$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{n^2-n-1}$=$\frac{{n}^{2}-n}{{n}^{2}-n-1}$，
即有$\frac{{a}_{n-1}-{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=1-$\frac{1}{{n}^{2}-n}$=1-（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
即为$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{n}$-（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{n-1}$）=1，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{n}$}为首项为1，公差为1的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{n}$=n，即有a_n=$\frac{n}{{n}^{2}+1}$；
（3）证明：在（1）中，令x=$\frac{1}{n}$，得$\frac{1}{n+1}$＜ln（1+$\frac{1}{n}$）＜$\frac{1}{n}$，
令x_n=S_n-lnn，则x₁=$\frac{1}{2}$，x_n-x_n-1=$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-ln（1+$\frac{1}{n-1}$）＜$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-$\frac{1}{n}$=-$\frac{1}{n（{n}^{2}+1）}$＜0，
则x_n＜x_n-1＜…＜x₁=$\frac{1}{2}$，故不等式右边成立；
又lnn=lnn-ln（n-1）+ln（n-1）-ln（n-2）+…+ln2-ln1+ln1=$\sum_{k=1}^{n-1}$ln（1+$\frac{1}{k}$），
x_n=$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{k}{1+{k}^{2}}$-$\sum_{k=1}^{n-1}$ln（1+$\frac{1}{k}$）=$\sum_{k=1}^{n-1}$（$\frac{k}{1+{k}^{2}}$-ln（1+$\frac{1}{k}$））+$\frac{n}{{n}^{2}+1}$＞$\sum_{k=1}^{n-1}$（$\frac{k}{{k}^{2}+1}$-$\frac{1}{k}$）
=-$\sum_{k=1}^{n-1}$$\frac{1}{k（1+{k}^{2}）}$≥-$\sum_{k=1}^{n-1}$$\frac{1}{k（k+1）}$=-1+$\frac{1}{n}$＞-1，即不等式左边成立．
故-1+lnn＜S_n≤$\frac{1}{2}$+lnn成立．

点评 本题考查导数的运用和等差数列的定义和通项公式的运用，以及不等式的证明，注意运用构造函数，以及数列的单调性证明，属于难题．