Question

18．已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，求：
（1）求展开式中的常数项；
（2）求含x³项的系数；
（3）求a₁+a₂+…+a₇的值．

Answer 1

分析 本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a₀，令x=0，可求出a₀的值，代入即求答案

解答 解：因为展开式的通项为${T}_{r+1}={C}_{7}^{r}（-2）^{r}{x}^{r}$，
所以（1）展开式的常数项为r=0时a₀=1；
（2）令r=3，得到含x³项为${T}_{4}={C}_{7}^{3}（-2）^{3}{x}^{3}$=-280x³，所以含x³项的系数是-280；
（3）令x=1代入二项式（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷得，（1-2）⁷=a₀+a₁+…+a₇=-1，
令x=0得a₀=1
∴1+a₁+a₂+…+a₇=-1
∴a₁+a₂+…+a₇=-2．

点评 本题主要考查二项式定理的应用；求特征项要明确通项；一般在求解有二项式的系数的和等问题时，通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是-1进行求解．