Question

已知圆M：（x+1）²+y²=8，定点N（1，0），点P为圆M上的动点，若Q在NP上，点G在MP上，且满足

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=0．
（I）求点G的轨迹C的方程；
（II）直线l过点P（0，2）且与曲线C相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）由题设知GP|=|GN|，|GM+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=2

2

，由|MN|=2知G是以M，N为焦点的椭圆，由此能求出点G的轨迹C的方程．
（II）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），由

y=kx+2 x2 2 +y2=1

得：（1+2k²）x²+8kx+6=0，由直线l与椭圆相交于A、B两点，再由根的判别式的根与系数的关系进行求解．

解答：解：（I）∵

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=

0

∴|GP|=|GN|
∴|GM+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=2

2

∵|MN|=2
∴G是以M，N为焦点的椭圆
设曲线C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，

2a=2 2 c=1 b2=a2-c2

得a²=2，b²=1
∴点G的轨迹C的方程为：

x2

2

+y2=1（6分）
（II）由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+2A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由

y=kx+2 x2 2 +y2=1

得：（1+2k²）x²+8kx+6=0
由直线l与椭圆相交于A、B两点，
∴△＞0?k2＞

3

2

由根与系数关系得

x1+x2=- 8k 1+2k2 x1•x2= 6 1+2k2

S△AOB=

1

2

|PO||x1-x2|=

2 2 2k2-3

1+2k2

令m=

2k2-3

(m＞0)，则2k2=m2+3
∴S=

2 2 m

m 2+4

=

2 2

m+ 4 m

≤

2

2

当且仅当m=

4

m

，即m=2时，Smax=

2

2

，此时k=±

14

2

∴所求的直线方程为±

14

x-2y+4=0（13分）

点评：本题考查直线和圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意根的判别式的根与系数的关系的合理运用．