Question

【题目】如图，在三棱锥中，，，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，直接转化为证明平面. （2）第（Ⅱ）问，可以利用几何法求，也可以利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.

试题解析：（Ⅰ）如图，取的中点，连结，.

因为为正三角形，所以；

因为，所以.

又，，平面，

所以平面.

因为平面，所以.

（Ⅱ）解法一：过点作的垂线，垂足为，连结.

因为平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，故平面.所以直线与平面所成角为.

在中，，，，

由余弦定理得 ，所以.

所以，.又，

故 ，即直线与平面所成角的正弦值为.

解法二：如图，以原点，以，为，轴建立空间直角坐标系.

可求得，则，，，.

平面的一个法向量为，.

设直线与平面所成角为，则 .