Question

9．为推进党内开展“两学一做”活动，现进行问卷调查，某党支部有正式党员6名，其中4名男性，2名女性，有预备党员2名，均为女性，从这8名党员中随机选择4名进行问卷调查．
（Ⅰ）设A为事件“选出的四人中恰有两名女性，且这两名女性不都是预备党员”，求事件A的概率
（Ⅱ）设X为选出的4人中男党员的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）计算事件A发生的概率即可；
（Ⅱ）根据题意知X的可能取值为0，1，2，3，4；计算对应的概率值，写出X的分布列与数学期望．

解答 解：（Ⅰ）A为事件“选出的四人中恰有两名女性，且这两名女性不都是预备党员”，
则事件A发生的概率为
P（A）=$\frac{{C}_{2}^{2}{•C}_{4}^{2}{+C}_{2}^{1}{•C}_{2}^{1}{•C}_{4}^{2}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{3}{7}$；
（Ⅱ）设X为选出的4人中男党员的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，4；
且P（X=k）=$\frac{{C}_{4}^{k}{•C}_{4}^{4-k}}{{C}_{8}^{4}}$，（k=0，1，2，3，4）
∴P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{0}{•C}_{4}^{4}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{1}{70}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{4}^{3}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{8}{35}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{•C}_{4}^{2}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{18}{35}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{8}{35}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}{•C}_{4}^{0}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{1}{70}$；
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{70}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{1}{70}$

数学期望为EX=0×$\frac{1}{70}$+1×$\frac{8}{35}$+2×$\frac{18}{35}$+3×$\frac{8}{35}$+4×$\frac{1}{70}$=2．

点评 本题考查了概率的求法以及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．