分析 (1)由已知得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{{a}_{n}}+1$,由此能证明{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$为首项,以4为公比的等比数列.
(2)由∴$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{3}=\frac{{4}^{n}}{3}$,得an=$\frac{3}{{4}^{n}-1}$=$\frac{3}{2}$($\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$),由此利用裂项求和法能证明Sn<$\frac{3}{2}$.
解答 证明:(1)∵数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+4}$,
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{{a}_{n}}+1$,
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{3}=4(\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{3})$,$\frac{1}{a}+\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$,
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$为首项,以4为公比的等比数列.
(2)∵{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$为首项,以4为公比的等比数列,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{3}=\frac{{4}^{n}}{3}$,∴an=$\frac{3}{{4}^{n}-1}$.
∴an=$\frac{3}{{4}^{n}-1}$=$\frac{3}{2}$($\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$).
∴Sn=$\frac{3}{2}$($\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$)
=$\frac{3}{2}$(1-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$)<$\frac{3}{2}$.
∴Sn<$\frac{3.}{2}$.
点评 本题考查等比数列的证明,考查数列的前n项和小于$\frac{4}{3}$的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列和裂项求和法的合理运用.
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A. | 最大值是$\frac{5}{4}$,最小值是1 | B. | 最大值是1,最小值是$\frac{1}{4}$-$\sqrt{3}$ | ||
C. | 最大值是2,最小值是$\frac{1}{4}$-$\sqrt{3}$ | D. | 最大值是2,最小值是$\frac{5}{4}$ |
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测试项目 | 测试成绩/分 | ||
甲 | 乙 | 丙 | |
笔试 | 92 | 85 | 95 |
面试 | 85 | 95 | 80 |
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A. | 4x-3y-11=0 | B. | 4x-3y+17=0 | C. | 4x+3y-11=0 | D. | 4x+3y-17=0 |
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