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11.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+4}$.
(1)求证{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}为等比数列;
(2)求证:Sn<$\frac{3}{2}$.

分析 (1)由已知得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{{a}_{n}}+1$,由此能证明{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$为首项,以4为公比的等比数列.
(2)由∴$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{3}=\frac{{4}^{n}}{3}$,得an=$\frac{3}{{4}^{n}-1}$=$\frac{3}{2}$($\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$),由此利用裂项求和法能证明Sn<$\frac{3}{2}$.

解答 证明:(1)∵数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+4}$,
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{{a}_{n}}+1$,
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{3}=4(\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{3})$,$\frac{1}{a}+\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$,
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$为首项,以4为公比的等比数列.
(2)∵{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$为首项,以4为公比的等比数列,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{3}=\frac{{4}^{n}}{3}$,∴an=$\frac{3}{{4}^{n}-1}$.
∴an=$\frac{3}{{4}^{n}-1}$=$\frac{3}{2}$($\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$).
∴Sn=$\frac{3}{2}$($\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$)
=$\frac{3}{2}$(1-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$)<$\frac{3}{2}$.
∴Sn<$\frac{3.}{2}$.

点评 本题考查等比数列的证明,考查数列的前n项和小于$\frac{4}{3}$的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列和裂项求和法的合理运用.

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