Question

已知函数f（x）=ax²+2x+1（a∈R）．
（1）若f（x）的图象与x轴恰有一个公共点，求a的值；
（2）若方程f（x）=0至少有一正根，求a的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）二次项系数为参数，先对其分类讨论，在结合一次函数二次函数的图象求解．
（2）当函数为一次函数时直接求根即可，为二次函数时须分①两正根②一正一负③一正一零三种情况来考虑．
解答：解：（1）若a=0，则f（x）=2x+1，
f（x）的图象与x轴的交点为，满足题意．
若a≠0，则依题意得：△=4-4a=0，即a=1．
故a=0或1．
（2）显然a≠0．若a＜0，则由可知，方程f（x）=0有一正一负两根，此时满足题意．
若a＞0，则△=0时，a=1，此时x=-1，不满足题意．
△＞0时，此时x₁+x₂=-＜0，x₁x₂=-＞0，所以方程有两负根，也不满足题意．
故  a＜0．
点评：二次函数的实根分布问题是高考的一个热点问题，判断二次函数的零点分布的关键在于作出二次函数的图象的草图，根据草图通常从判别式，对称轴的位置，特殊点的函数值这三个角度列出不等式组求解．