分析:(1)令x=1,y=0,求出f(0)=2,再令x=0即可判断函数的奇偶性;
(2)由x≠0时,f(x)>2,则f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)>2f(y),即f(x+y)-f(y)>f(y)-f(x-y),再令x=1,y=n,有f(n+1)-f(n)>f(n)-f(n-1),再由递推,即可得到;
(3)由x≠0时,f(x)>2,则f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)>2f(y),即f(x+y)-f(y)>f(y)-f(x-y)令y=kx(k为正整数),对任意的k为正整数,有f[(k+1)x]-f(kx)>f(kx)-f[(k-1)x],再由递推即可得到对于k为正整数,总有f[(k+1)x]>f(kx)成立,即有n<m,则有f(nx)<f(mx)成立,可设|a|=
,|b|=
,其中q
1,q
2是非负整数,p
1,p
2都是正整数,再由偶函数的结论和前面的结论,即可得到大小.
解答:
解:(1)令x=1,y=0,∴f(1)f(0)=f(1)+f(1),
又f(1)=
,∴f(0)=2.
令x=0,得f(0)f(y)=f(y)+f(-y),即2f(y)=f(y)+f(-y),
∴f(y)=f(-y)对任意的实数y总成立,
∴f(x)为偶函数;
(2)结论:a
n<a
n+1.
证明:∵x≠0时,f(x)>2,
∴f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)>2f(y),
即f(x+y)-f(y)>f(y)-f(x-y)
∴令x=1,y=n,有f(n+1)-f(n)>f(n)-f(n-1),
则f(n+1)-f(n)>f(n)-f(n-1)>f(n-1)-f(n-2)>…>f(1)-f(0)>0.
∴a
n<a
n+1.
(3)结论:f(a)<f(b).
证明:∵x≠0时,f(x)>2,
∴f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)>2f(y),即f(x+y)-f(y)>f(y)-f(x-y)
∴令y=kx(k为正整数),对任意的k为正整数,有f[(k+1)x]-f(kx)>f(kx)-f[(k-1)x],
则f[(k+1)x]-f(kx)>f(kx)-f[(k-1)x]>…>f(x)-f(0)>0
∴对于k为正整数,总有f[(k+1)x]>f(kx)成立.
∴对于m,n为正整数,若n<m,则有f(nx)<f[(n-1)x]<…<f(mx)成立.
∵a,b为有理数,所以可设|a|=
,|b|=
,其中q
1,q
2是非负整数,p
1,p
2都是正整数,
则|a|=
,|b|=
,令x=
,t=q
1p
2,s=p
1q
2,则t,s为正整数.
∵|a|<|b|,∴t<s,∴f(tx)<f(sx),即f(|a|)<f(|b|).
∵函数f(x)为偶函数,∴f(|a|)=f(a),f(|b|)=f(b),
∴f(a)<f(b).