Question

3．已知各项不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=a₁（a_n-1）；数列{b_n}满足a_nb_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和T_n．
（Ⅰ）求a_n，T_n．
（Ⅱ）若?n∈N⁺，不等式t²+2λt+3＜T_n成立，求使关于t的不等式有解的充要条件．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用递推式及其等比数列的通项公式即可得出；利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出T_n．
（Ⅱ）由b_n各项大于0，可得T_n的最小值为T₁=b₁=$\frac{1}{2}$，由题意可得t²+2λt+3＜$\frac{1}{2}$，即2t²+4λt+5＜0，关于t的不等式有解，只要△=16λ²-40＞0，解得即可得到充要条件．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=a₁（a₁-1），∵a₁≠0，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-1）-2（a_n-1-1），化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，
∴a_n=2ⁿ．
又数列{b_n}满足a_nb_n=log₂a_n，
∴b_n=$\frac{lo{g}_{2}{2}^{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$；
（Ⅱ）由于b_n=$\frac{lo{g}_{2}{2}^{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$＞0，
即有T_n的最小值为T₁=b₁=$\frac{1}{2}$，
?n∈N⁺，不等式t²+2λt+3＜T_n成立，即有t²+2λt+3＜$\frac{1}{2}$，
即2t²+4λt+5＜0，关于t的不等式有解，只要△=16λ²-40＞0，
解得λ＞$\frac{\sqrt{10}}{2}$或λ＜-$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
则使关于t的不等式有解的充要条件是λ＞$\frac{\sqrt{10}}{2}$或λ＜-$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式有解的条件，考查错位相减法求和的方法，属于中档题．