Question

1．下列说法正确的是④
①4cos10°-tan80°化简结果为$\sqrt{3}$；
②sinx+cosx+sinxcosx最大值为2；
③y=$\frac{sinx+1}{cosx+2}$的最大值为1；
④y=x+$\sqrt{4-{x^2}}$的最大值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 直接利用三角函数的化简求值判断①；利用换元法求出函数sinx+cosx+sinxcosx最大值判断②；利用数形结合求出y=$\frac{sinx+1}{cosx+2}$的最大值判断③；利用换元法求出函数y=x+$\sqrt{4-{x^2}}$的最大值判断④．

解答 解：①4cos10°-tan80°=4cos10°-$\frac{sin80°}{cos10°}$=4cos10°-$\frac{cos10°}{sin10°}$
=$\frac{4sin10°cos10°-cos10°}{sin10°}$=$\frac{2sin20°-cos10°}{sin10°}$=$\frac{2sin20°-cos（30°-20°）}{sin10°}$ 
=$\frac{\frac{3}{2}sin20°-\frac{\sqrt{3}}{2}cos20°}{sin10°}$=$\frac{\sqrt{3}（\frac{\sqrt{3}}{2}sin20°-\frac{1}{2}cos20°）}{sin10°}$=$\frac{\sqrt{3}sin（-10°）}{sin10°}=-\sqrt{3}$，①错误；
②令sinx+cosx=t（$-\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$），
由同角三角函数关系得sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴y=$t+\frac{{t}^{2}-1}{2}=\frac{{t}^{2}}{2}+t-\frac{1}{2}$，当t=-1时，y取得最小值=-1，当T=$\sqrt{2}$时，y取得最大值$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$，②错误；
③y=$\frac{sinx+1}{cosx+2}$的几何意义为圆x²+y²=1上的动点与定点（-2，-1）连线的斜率，如图，
最大值k=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1-（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{4}{3}$，③错误；
④由y=x+$\sqrt{4-{x^2}}$，令x=2sinα（$-\frac{π}{2}≤α≤\frac{π}{2}$），则4-x²=4-4sin²α=4cos²α，
∴y=2sinα+2cosα=$2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$∈[-2，2$\sqrt{2}$]，④正确．
故答案为：④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的化简与求值，训练了三角函数最值的求法，是中档题．