Question

8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n+a_n=n．求证：数列{a_n-1}是等比数列．

Answer 1

分析 通过S_n+a_n=n与S_n+1+a_n+1=n+1作差、整理得2a_n+1-a_n=1，变形可知a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），进而可知数列{a_n-1}是以-$\frac{1}{2}$为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．

解答 证明：∵S_n+a_n=n，
∴S_n+1+a_n+1=n+1，
两式相减得：2a_n+1-a_n=1，
整理得：a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），
又∵a₁+a₁=1，即a₁=$\frac{1}{2}$，
∴a₁-1=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n-1}是以-$\frac{1}{2}$为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．

点评 本题考查等比数列的判定，注意解题方法的积累，属于中档题．