Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的平行四边形，∠ADC=60°， ，PA⊥面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC
（Ⅱ）若PA=AB= ，求三棱锥P﹣AEC的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：因为PA⊥面ABCD，又AB平面ABCD，

所以AB⊥PA，

又因为∠ABC=∠ADC=60°， ，

在△ABC中，由余弦定理有：

AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=BC2﹣AB2

所以AB2+AC2=BC2，

即：AB⊥AC，

又因为PA∩AC=A，又PA平面PAC，AC平面PAC，

所以AB⊥平面PAC，

又PC平面PAC，所以AB⊥PC．

（Ⅱ）解：由已知有： ，

所以PA=AB=2，AD=4，因为PA⊥面ABCD

且E为PD的中点，所以E点到平面ADC的距离为 ，

所以三棱锥P﹣AEC的体积：

VP﹣AEC=VD﹣AEC=VE﹣ADC=

= × ．

【解析】（1）因为PA⊥面ABCD，则AB⊥PA，根据边角的大小关系，由余弦定理可证出△ABC为直角三角形，即AB⊥AC，从而可证出AB⊥面PAC，即AB⊥PC，（2）由已知可得出其各边的大小，由于E为PD的中点，则不难得出E到面ADC的距离为1，VP﹣AEC=VD﹣AEC=VE﹣ADC= S △ A D C，即可得出结果.
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．