Question

如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长和侧棱长均为1，且满足∠BAD=60°，O₁为A₁C₁的中点．
（1）求证：BD⊥A₁C；
（2）求证：AO₁∥平面C₁BD；
（3）设BB₁的中点为M，过A，C₁和M作一截面，求所得截面面积．

Answer 1

分析：（1）连接AC，由菱形的性质可得BD⊥AC，由直四棱柱的几何特征可得A₁A⊥BD，结合线面垂直的判定定理得到BD⊥平面A₁AC，进而再由线面垂直的性质得到BD⊥A₁C；
（2）设AC∩BD=O，连接C₁O，由三角形中位线定理得C₁O∥AO₁．再由线面平行的判定定理得到AO₁∥平面C₁BD；
（3）取DD₁中点N，连接AM，MC₁，C₁N，AN．可证得平行四边形AMC₁N为菱形，根据菱形面积等于对角线长乘积的一半，即可得到截面面积．

解答：解：（1）证明：连接AC，
由直棱柱的性质可知A₁A⊥平面ABCD，则A₁A⊥BD．
由已知底面ABCD为菱形，则BD⊥AC，
由A₁A∩AC=A，
所以BD⊥平面A₁AC．
所以BD⊥A₁C．
（2）设AC∩BD=O，连接C₁O，
由正方体的几何特征可得
C₁O₁=AO，且C₁O₁∥AO，
故四边形AOC₁O₁为平行四边形
则C₁O∥AO₁．
∵AO₁?平面C₁BD，C₁O?平面C₁BD
∴AO₁∥平面C₁BD；
（3）取DD₁中点N，连接AM，MC₁，C₁N，AN．
MC₁∥AN，且AM=MC₁=C₁N=AN
∴A，M，C₁，N四点共面，且平行四边形AMC₁N为菱形．
由已知AC1=2，MN=1，S平行四边形AMC1N=1．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定和性质，菱形的面积，其中（1）（2）的关键是熟练掌握空间直线与平面平等及垂直的判定、性质、定义、几何特征，（3）的关键是证明出截面为菱形，进而根据菱形面积等于对角线长乘积的一半求解．