Question

20．设正项等比数列{a_n}的前n项之积为T_n，且T₁₄=128，则$\frac{1}{{a}_{7}}$+$\frac{1}{{a}_{8}}$的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由等比数列可得a₇a₈=2，可得$\frac{1}{{a}_{7}}$+$\frac{1}{{a}_{8}}$=$\frac{{a}_{7}+{a}_{8}}{{a}_{7}{a}_{8}}$=$\frac{1}{2}$（a₇+a₈），由基本不等式求最值可得．

解答 解：由题意和等比数列的性质可得T₁₄=（a₇a₈）⁷=128，
结合数列的项为正数可得a₇a₈=2，
∴$\frac{1}{{a}_{7}}$+$\frac{1}{{a}_{8}}$=$\frac{{a}_{7}+{a}_{8}}{{a}_{7}{a}_{8}}$=$\frac{1}{2}$（a₇+a₈）≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{{a}_{7}{a}_{8}}$=$\sqrt{2}$，
当且仅当a₇=a₈=$\sqrt{2}$时取等号，
故选：A．

点评 本题考查等比数列的性质和基本不等式求最值，属基础题．