Question

已知函数f（x）=x²+bx+c，且函数f（x+1）是偶函数．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=|f（x）|（x∈[-1，2]）的最小值为1，求函数g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（I）由f（x+1）为偶函数可得f（-x+1）=f（x+1）对任意x都成立，代入已知函数解析式可求b
（II）由（I）可得g（x），x∈[-1，2]，而（1）为f（x）的最小值，故考虑讨论
①当f（1）=c-1＞0时，g（x）的最小值f（1）=c-1可求c，进而可求g（x）的最大值
②若f（1）≤0，f（-1）≥0，函数f（x）在[-1，2]上至少有一零点，此时g（x）的最小值0，可求

解答：解：（I）∵f（x+1）为偶函数
∴f（-x+1）=f（x+1）对任意x都成立
∵f（x）=x²+bx++c
∴（1-x）²+b（1-x）+c=（1+x）²+b（1+x）+c
整理可得（b+2）x=0对任意x都成立
∴b=-2
（II）由（I）可得g（x）=|x²-2x+c|=|（x-1）²+c-1|，x∈[-1，2]
①当f（1）=c-1＞0即c＞1时，y=（x-1）²+c-1＞0，则g（x）=x²-2x+c=（x-1）²+c-1＞0，x∈[-1，2]
则g（x）=（x-1）²+c-1的最小值f（1）=c-1=1
∴c=2，此时g（x）=（x-1）²+1在[-1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，则g（x）的最大值g（-1）=5
②若f（1）≤0，f（-1）≥0，即-3≤c≤1时，函数f（x）在[-1，2]上至少有一零点，此时g（x）=|f（x）|的最小值0，不合题意
故当c＞1时，函数g（x）有最大值g（-1）=5

点评：本题主要考查了二次函数的性质、偶函数的定义在求解参数中的应用，试题具有一定的综合性