Question

8．f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=-x²+1；当x＞1时，f（x）=log₂x．
（I）当x∈（-∞，-1）时，求满足方程f（x）+log₄（-x）=6的x的值．
（Ⅱ）求y=f（x）在[0，t]（t＞0）上的值域．

Answer 1

分析 （I）当x∈（-∞，-1）时，利用函数奇偶性的对称性求出函数f（x）的表达式，解对数方程即可求满足方程f（x）+log₄（-x）=6的x的值．
（Ⅱ）讨论t的取值范围，结合对数函数和一元二次函数的性质即可求y=f（x）在[0，t]（t＞0）上的值域．

解答 解：（I）当x∈（-∞，-1）时，
则-x∈（1，+∞），
此时f（-x）=log₂（-x），
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=log₂（-x）=f（x），
即f（x）=log₂（-x），x∈（-∞，-1）
当x∈（-∞，-1）时，
由f（x）+log₄（-x）=6得log₂（-x）+log₄（-x）=6，
即log₂（-x）+$\frac{1}{2}$log₂（-x）=6，
即$\frac{3}{2}$log₂（-x）=6，
则log₂（-x）=4，即-x=2⁴=16，
解得x=-16．即方程的根x=-16．
（Ⅱ）∵0≤x≤1时，f（x）=-x²+1≤1，
∴当x＞1时，由f（x）=log₂x=1得x=2，
若0＜t≤1，
则函数y=f（x）在[0，t]（t＞0）上单调递减，
则函数的值域为[1-t²，1]．
若1≤t≤2，此时函数在[0，t]上的最大值为1，最小值为0，
则函数的值域为[0，1]．
若t＞2，
则此时f（2）＞1，此时函数在在[0，t]上的最大值为f（t）=log₂t，最小值为0，
函数的值域为[0，log₂t]．

点评 本题主要考查函数解析式和函数值域的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．注意要对t进行分类讨论．