Question

如图，一个半径为R的圆上一点A（

3

，1），动点P从点A出发，沿圆周逆时针方向匀速运动，设t时刻时，P点坐标为（x（t），y（t）），其中t∈[2，6]时，y（t）单调递减，且y（6）=y（10），则0≤t≤10时，数量积

AP

•

AB

的最大值为（　　）

• A、4
• B、6
• C、10
• D、12

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：由A的坐标，求得R=2，运用三角函数的定义可得P的坐标P（2cos（

π

6

+ωt），2sin（

π

6

+ωt）），（θ=ωt），再由条件求出ω，再根据向量的数量积的坐标表示化简整理，由正弦函数的图象和性质，计算即可得到最大值．

解答： 解：由于A（

3

，1），则∠AOx=

π

6

，R=2，B（0，2），
设t时刻时旋转了θ角，则P（2cos（

π

6

+ωt），2sin（

π

6

+ωt）），（θ=ωt），
由于y（6）=y（10），
即2sin（

π

6

+6ω）=2sin（

π

6

+10ω），
即

π

6

+6ω=

π

6

+10ω+2kπ或

π

6

+6ω+

π

6

+10ω=2kπ+π（k∈Z），
ω=

kπ

-2

或ω=

kπ

8

+

π

24

，
由t∈[2，6]时，y（t）单调递减，
则k=1时，ω=

π

8

+

π

24

=

π

6

，
则有P（（2cos（

π

6

+

π

6

t），2sin（

π

6

+

π

6

t）），
则

AP

=（2cos（

π

6

+

π

6

t）-

3

，2sin（

π

6

+

π

6

t）-1），

AB

=（-

3

，1），
即有

AP

•

AB

=2-2

3

cos（

π

6

+

π

6

t）+2sin（

π

6

+

π

6

t）
=2+4sin（

π

6

+

π

6

t-

π

3

）=2+4sin（

π

6

t-

π

6

），
当0≤t≤10时，-

π

6

≤

π

6

t-

π

6

≤

3π

2

，
则有-1≤sin（

π

6

t-

π

6

）≤1，
则有-2≤

AP

•

AB

≤6．
则最大值为6．
故选：B．

点评：本题主要考查三角函数的定义和性质，以及平面向量的数量积运算，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，考查学生的运算能力．