Question

2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费x_i和年销售量y_i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{w}$	$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）2	$\sum_{i=1}^{8}（{w}_{i}-\overline{w}）^{2}$	$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）（y1-$\overline{y}$）	$\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

其中w_i=$\sqrt{{x}_{i}}$，$\overline{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}$w_i
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d$\sqrt{x}$哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题，当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回归直线v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\stackrel{∧}{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{α}$=$\overline{v}$-$\stackrel{∧}{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由散点图可知y=c+d$\sqrt{x}$宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程的类型，
（Ⅱ）ω=$\sqrt{x}$，建立y关于ω的线性回归方程，利用最小二乘法公式求得$\widehat{d}$和$\widehat{c}$，即可求得y关于x的线性回归方程；
（Ⅲ）将x=49，代入（Ⅱ）的线性回归方程求得$\widehat{y}$，即可求得年利润z的预报值$\widehat{z}$．

解答 解：（Ⅰ）由散点图可知y=c+d$\sqrt{x}$宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程的类型，
（Ⅱ）令ω=$\sqrt{x}$，建立y关于ω的线性回归方程，
由于$\widehat{d}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{ω}_{i}-\overline{ω}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{ω}_{i}-\overline{ω}）^{2}}$=$\frac{108.8}{1.6}$=68，
$\widehat{c}$=$\overline{y}$-$\widehat{d}$•$\overline{ω}$=563-68×6.8=100.6，
∴y关于ω的线性回归刚才为$\widehat{y}$=100.6+68ω，
∴y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=100.6+68$\sqrt{x}$，
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当x=49，年销售量y的预报值$\widehat{y}$=100.6+68$\sqrt{49}$=576.6，
年利润z的预报值$\widehat{z}$=576.6×0.2-49=66.32．

点评 本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．