Question

【题目】已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|．
（I）作出函数f（x）的图象；
（Ⅱ）若不等式 ≤f（x）有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令2x﹣1=0，得x= ，
令x﹣1=0，得x=1；
当x＜ 时，函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=﹣（2x﹣1）+2（x﹣1）=﹣1；
当 ≤x≤1时，函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=（2x﹣1）+2（x﹣1）=4x﹣3；
当x＞1时，函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=（2x﹣1）﹣2（x﹣1）=1；
∴f（x）= ，
作出函数f（x）的图象，如图所示；

（Ⅱ）由函数f（x）的图象知，f（x）的最大值是1，
所以不等式 ≤f（x）有解，等价于 ≤1有解，
不等式 ≤1可化为 ﹣1≤0
（2a﹣1）（a﹣1）≥0（a≠1），解得a≤ 或a＞1，
所以实数a的取值范围是（﹣∞， ]∪（1，+∞）
【解析】（Ⅰ）去掉绝对值，化简函数f（x），作出函数f（x）的图象即可；（Ⅱ）由函数f（x）的图象知函数的最大值是1，问题等价于 ≤1有解，
求出解集即可．