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已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x+3,且f(0)=4.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[-3,4]上的值域.
考点:二次函数在闭区间上的最值
专题:计算题,待定系数法,函数的性质及应用
分析:(1)据二次函数的形式设出f(x)的解析式,将已知条件代入,列出方程,令方程两边的对应系数相等解得.
(2)讨论对称轴与区间的关系,即可得到最值,进而求得值域.
解答: 解:(1)设y=f(x)=ax2+bx+c
∵f(0)=c=4,f(x+1)-f(x)=2x+3,
∴a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x+3,
∴2a=2,a+b=3,解得a=1,b=2,
则函数f(x)的表达式为f(x)=x2+2x+4;
(2)由于f(x)=x2+2x+4的对称轴为x=-1,
而-1∈[-3,4],
则f(x)的最小值为f(-1)=1-2+4=3,
当x=4时,f(x)取最大值,且为f(4)=16+8+4=28,
故f(x)在[-3,4]上的值域为[3,28].
点评:本题考查利用待定系数法求函数解析式,考查二次函数在闭区间上的值域,注意对称轴与区间的关系,考查运算能力,属于中档题.
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