Question

（2012•泰州二模）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC₁上，已知AB=AC，AA₁=3，BC=CF=2．
（1）求证：C₁E∥平面ADF；
（2）若点M在棱BB₁上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF？

Answer 1

分析：（1）连接CE交AD于O，连接OF．因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，

CF

CC1

=

CO

CE

=

2

3

．由此能够证明C₁E∥平面ADF．
（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，先证出AD⊥平面B₁BCC₁．再证明当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．

解答：解：（1）连接CE交AD于O，连接OF．
因为CE，AD为△ABC中线，
所以O为△ABC的重心，

CF

CC1

=

CO

CE

=

2

3

．
从而OF∥C₁E．…（3分）
OF?面ADF，C₁E?平面ADF，
所以C₁E∥平面ADF．…（6分）
（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
由于B₁B⊥平面ABC，BB₁?平面B₁BCC₁，
所以平面B₁BCC₁⊥平面ABC．
由于AB=AC，D是BC中点，所以AD⊥BC．
又平面B₁BCC₁∩平面ABC=BC，
所以AD⊥平面B₁BCC₁．
而CM?平面B₁BCC₁，于是AD⊥CM．…（9分）
因为BM=CD=1，BC=CF=2，所以Rt△CBM≌Rt△FCD，
所以CM⊥DF． …（11分）
DF与AD相交，所以CM⊥平面ADF．
CM?平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF．…（13分）
当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．…（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．