Question

（2012•增城市模拟）已知f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2
（1）求f（x）的最大值及相应的x值；
（2）当α∈(0，

π

2

)时，已知f(

α

2

-

π

8

)=

3 2

5

，求f（α）的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为

2

sin(2x+

π

4

)，由此求得f（x）的最大值及相应的x值．
（2）由已知f(

α

2

-

π

8

)=

3 2

5

，求出sinα 的值，再由同角三角函数的基本关系求出cosα的值，代入f（α）=（sinα+cosα）²+2cos²α-2运算求得结果．

解答：解：（1）f（x）=1+2sinxcosx+2cos²x-2（1分）
=1+sin2x+1+cos2x-2（3分）
=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)．（5分）
所以f（x）的最大值是

2

，且当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

(k∈Z)时取得  （7分）
（2）∵f(

α

2

-

π

8

)=

2

sin[2(

α

2

-

π

8

)+

π

4

]=

2

sinα，（9分）
∴sinα=

3

5

．（10分）  
又∵α∈(0，

π

2

)，∴cosα=

4

5

，（11分）
∴f（α）=（sinα+cosα）²+2cos²α-2（12分）
=(

7

5

)2+2(

4

5

)2-2（13分）
=

31

25

．（14分）

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．