Question

已知函数f(x)=lnx-a²x²+ax(a∈R).

(1)当a=1时,证明函数f(x)只有一个零点;

(2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.

Answer 1

解:(1)证明:当a=1时,f(x)=lnx-x²+x,其定义域是(0,+∞),

∴f′(x)=-2x+1=.

令f′(x)=0,即=0,解得x=或x=1.

∵x＞0,∴x=舍去.当0＜x＜1时,f′(x)＞0;当x＞1时,f′(x)＜0.

∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.

∴当x=1时,函数f(x)取得最大值,其值为f(1)=ln1-1²+1=0.

当x≠1时,f(x)＜f(1),即f(x)＜0.∴函数f(x)只有一个零点.

(2)∵f(x)=lnx-a²x²+ax,其定义域为(0,+∞),

∴f′(x)=-2a²x+a==.

①当a=0时,f′(x)=＞0,

∴f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,不合题意.

②当a＞0时,f′(x)＜0(x＞0)等价于(2ax+1)(ax-1)＞0(x＞0),即x＞.

此时f(x)的单调递减区间为(,+∞).

依题意,得解之,得a≥1.

③当a＜0时,f′(x)＜0(x＞0)等价于(2ax+1)(ax-1)＞0(x＞0),即x＞-.

此时f(x)的单调递减区间为(,+∞).

依题意,得解之,得a≤.

综上所述,实数a的取值范围是(-∞,］∪［1,+∞).