Question

已知圆O：x²+y²=4，AB为圆O的任意一条直径，P（1，3），Q（-1，0），则当PA+AB+BQ最小时，直径AB所在的直线方程为

y=

3

x

．

Answer 1

分析：设点R（1，0）、点A（x，y），则点B（-x，-y），PA+BQ+AB=

(x-1)2+(y-3)2

+

(x-1)2+y2

+4．
数形结合可得当点A是PR与圆的交点时，PA+BQ=

(x-1)2+(y-3)2

+

(x-1)2+y2

最小，即PA+AB+BQ最小，
此时，点A（1，

3

），求得AB的斜率，用点斜式求得AB的方程．

解答：解：∵已知圆O：x²+y²=4，AB为圆O的任意一条直径，P（1，3），Q（-1，0），
设点R（1，0）、点A（x，y），
则点B（-x，-y），PA+AB+BQ=

(x-1)2+(y-3)2

+4+

(-x+1)2+y2

=

(x-1)2+(y-3)2

+

(x-1)2+y2

+4=PA+AR+4．
由于

(x-1)2+(y-3)2

表示圆上的点A（x，y）到点P（1，3）的距离，
而 

(x-1)2+y2

 表示圆上的点A（x，y）到点R（1，0）的距离，
故当点A是PR与圆的交点时，PA+AR=

(x-1)2+(y-3)2

+

(x-1)2+y2

 最小，
即PA+AB+BQ最小，此时，点A（1，

3

），故AB的斜率为

3 -0

1-0

=

3

，
故直线AB的方程为 y=

3

x，
故答案为 y=

3

x．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，两点间的距离公式的应用，用点斜式求直线的方程，属于基础题．