Question

【题目】已知函数f（x）=（k∈R）

（Ⅰ）若该函数是偶函数，求实数k及f（log32）的值；

（Ⅱ）若函数g（x）=x+log3f（x）有零点，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）k＜1.

【解析】

（Ⅰ）根据偶函数定义f（-x）=f（x），代入函数化简即可求得k的值，进而得到函数解析式，再将x=log32代入，根据对数恒等式的化简即可求得解。

（Ⅱ）将f（x）的表达式代入函数g（x）=x+log3f（x）中，化简为g（x） =log3（9x+k），根据零点意义，可得9x+k=1。根据9x＞0，即可求得k的取值范围。

（Ⅰ）函数f（x）=即f（x）=3x+k3-x是偶函数，

可得对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），

即3-x+k3x=3x+k3-x，

即为（k-1）（3x-3-x）=0，而x∈R，则k=1，

则f（x）=3x+3-x，

f（log32）=+=2+=；

（Ⅱ）g（x）=x+log3f（x）=log33x+log3=log3（9x+k），

由log3（9x+k）=0，得9x+k=1，即1-k=9x，

可得1-k＞0，

即k＜1时，函数有零点．