Question

设点A和B为抛物线y²=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

Answer 1

动点M的轨迹方程为x²+y²－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.

解法一:设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),M(x,y) (x≠0)

直线AB的方程为x=my+a
由OM⊥AB，得m=－
由y²=4px及x=my+a，消去x,得y²－4pmy－4pa=0
所以y₁y₂=－4pa, x₁x₂=
所以，由OA⊥OB，得x₁x₂ =－y₁y₂
所以
故x=my+4p,用m=－代入，得x²+y²－4px=0(x≠0)
故动点M的轨迹方程为x²+y²－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
解法二：设OA的方程为，代入y²=4px得
则OB的方程为，代入y²=4px得
∴AB的方程为，过定点，
由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）
故动点M的轨迹方程为x²+y²－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
解法三: 设M(x,y) (x≠0)，OA的方程为，
代入y²=4px得
则OB的方程为，代入y²=4px得
由OM⊥AB，得
M既在以OA为直径的圆：……①上，
又在以OB为直径的圆： ……②上（O点除外），
①+②得x²+y²－4px=0(x≠0)
故动点M的轨迹方程为x²+y²－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.