Question

已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，若，则λ₁+λ₂的值为________．

Answer 1

分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线 m方程和AC的中垂线 n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ₁和λ₂ 的值．
解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），B （2，0），C（-，），
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线 m：x=1 上，又在AC的中垂线 n 上，
AC的中点（-，），AC的斜率为-，
∴中垂线n的方程为 y-=（x+）．
把直线 m和n 的方程联立方程组解得△ABC的外心O（1，），
由条件，
得（1，）=λ₁（2，0）+λ₂（-，），=2λ₁-λ₂， λ₂ ），
∴2λ₁-λ₂=1，λ₂=，∴λ₁=，λ₂=，∴λ₁+λ₂ =，
故答案为 ．
点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．