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8.矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点,沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置,使平面D1AE⊥平面ABCE.

(1)求证:BE⊥D1A;
(2)求四棱锥D1-ABCE的体积.

分析 (1)在矩形ABCD中,求出AE=BE=$\sqrt{2}$,AB=2,说明AE⊥BE,然后证明BE⊥平面D1AE,即可证明结论;
(2)作D1F⊥AE于F,则D1F⊥平面ABCE,再利用体积公式求四棱锥D1-ABCE的体积.

解答 (1)证明:∵矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点.
∴AE=BE=$\sqrt{2}$,AB=2,
∴AE⊥BE,
由于平面D1AE丄平面ABCE,BE?平面ABCE,AE为平面D1AE与平面ABCE的交线,
∴BE丄平面D1AE,∴BE丄D1A…(6分)
(2)解:作D1F⊥AE于F,则D1F⊥平面ABCE,D1F=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,…(9分)
而SABCE=$\frac{1}{2}×(1+2)×1$=$\frac{3}{2}$,
∴四棱锥D1-ABCE的体积为$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$.…(12分)

点评 本题考查直线与平面垂直,折叠问题,四棱锥D1-ABCE的体积的求法,考查空间想象能力,计算能力.

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