Question

8．矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，沿AE将△DAE折起到△D₁AE的位置，使平面D₁AE⊥平面ABCE．

（1）求证：BE⊥D₁A；
（2）求四棱锥D₁-ABCE的体积．

Answer 1

分析 （1）在矩形ABCD中，求出AE=BE=$\sqrt{2}$，AB=2，说明AE⊥BE，然后证明BE⊥平面D₁AE，即可证明结论；
（2）作D₁F⊥AE于F，则D₁F⊥平面ABCE，再利用体积公式求四棱锥D₁-ABCE的体积．

解答 （1）证明：∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点．
∴AE=BE=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴AE⊥BE，
由于平面D₁AE丄平面ABCE，BE?平面ABCE，AE为平面D₁AE与平面ABCE的交线，
∴BE丄平面D₁AE，∴BE丄D₁A…（6分）
（2）解：作D₁F⊥AE于F，则D₁F⊥平面ABCE，D₁F=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（9分）
而S_ABCE=$\frac{1}{2}×（1+2）×1$=$\frac{3}{2}$，
∴四棱锥D₁-ABCE的体积为$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直，折叠问题，四棱锥D₁-ABCE的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．